Question

已知f（x）=x³-ax在[1，+∞）上是单调增函数，则a的最大值是    ．

Answer

法一：先利用导函数求出原函数的单调增区间，再让[1，+∞）是所求区间的子集可得结论．
法二：由题意a＞0，函数f（x）=x3-ax，首先求出函数的导数，然后根据导数与函数单调性的关系进行判断．
【解析】
法一∵f（x）=x3-ax，∴f′（x）=3x2-a=3（x-）（x+）
∴f（x）=x3-ax在（-∞，-），（ ，+∞）上单调递增，
∵函数f（x）=x3-ax在[1，+∞）上单调递增，
∴≤1⇒a≤3
∴a的最大值为 3
法二：由法一得f′（x）=3x2-a，
∵函数f（x）=x3-ax在[1，+∞）上是单调增函数，
∴在[1，+∞）上，f′（x）≥0恒成立，
即a≤3x2在[1，+∞）上恒成立，
∴a≤3，
故答案为：3．