Question

根据下面一组等式：
S₁=1
S₂=2+3=5
S₃=4+5+6=15
S₄=7+8+9+10=34
S₅=11+12+13+14+15=65
S₆=16+17+18+19+20+21=111
可得S₁+S₃+S₅+…+S_2n-1=    ．

Answer

利用等差数列的通项公式与求和公式，可得Sn=（n3+n），再以2n-1代替n，得S2n-1=4n3-6n2+4n-1，结合和的特点可以求解．
【解析】
由题中数阵的排列特征，设第i行的第1个数记为ai（i=1，2，3…n）
则a2-a1=1
a3-a2=2
a4-a3=3
…
an-an-1=n-1
以上n-1个式子相加可得，an-a1=1+2+…+（n-1）=×（n-1）=
∴an=+1
Sn共有n连续正整数相加，并且最小加数为 +1，最大加数
∴Sn=n•×+×（-1）=（n3+n）
∴S2n-1=[（2n-1）3+（2n-1）]=4n3-6n2+4n-1
∴S1=1
S1+S3=16=24
S1+S3+S5=81=34
∴S1+S3+…+S2n-1=1+15+65+…+4n3-6n2+4n-1
=n4．
故答案：n4