Question

已知函数f（x）=ax+-3ln x．
（1）a=2时，求f（x）的最小值；
（2）若a≥0且f（x）在[1，2]上是单调函数，求实数a的取值范围．

Answer

（1）把a的值代入函数解析式，求导后由导函数等于0解得导函数的零点，由导函数的零点对定义域分段，利用导函数在各区间段内的符号判断原函数的单调性，从而求得元函数的最小值；
（2）求出原函数的导函数，分a=0和a＞0两种情况分析f（x）在[1，2]上是单调函数时的导函数的符号，对于a＞0时，由导函数在x∈[1，2]时小于等于0恒成立列式求解a的取值范围．
【解析】
（1）由a=2，得，
∴=．
令f′（x）=0，得x=2或x=-．
列表：

x （0，2） 2 （2，+∞）
f′（x） - +
f（x） 减函数 增函数

∴f（x）min=f（2）=5-3ln2；
（2）=．
若a=0，x∈[1，2]时f′（x）＜0
∴f（x）在[1，2]上单调递减，
若a＞0，由f′（1）＜0，且f（x）在[1，2]上是单调函数，
∴f′（x）≤0对x∈[1，2]恒成立，
即x∈[1，2]时，g（x）=ax2-3x-a≤0恒成立，
∴，即，解得0＜a≤2．
综上得0≤a≤2．