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在平面直角坐标系xoy中,已知圆C1:(x+3)2+(y-1)2=4 和圆C2:...

在平面直角坐标系xoy中,已知圆C1:(x+3)2+(y-1)2=4 和圆C2:(x-4)2+(y-5)2=4
(1)若直线l过点A(4,0),且被圆C1截得的弦长为2manfen5.com 满分网,求直线l的方程
(2)设P为平面上的点,满足:存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2,它们分别与圆C1和C2相交,且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等,求所有满足条件的点P的坐标.
(1)因为直线l过点A(4,0),故可以设出直线l的点斜式方程,又由直线被圆C1截得的弦长为2,根据半弦长、半径、弦心距满足勾股定理,我们可以求出弦心距,即圆心到直线的距离,得到一个关于直线斜率k的方程,解方程求出k值,代入即得直线l的方程. (2)与(1)相同,我们可以设出过P点的直线l1与l2的点斜式方程,由于两直线斜率为1,且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等,故我们可以得到一个关于直线斜率k的方程,解方程求出k值,代入即得直线l1与l2的方程. 【解析】 (1)由于直线x=4与圆C1不相交; ∴直线l的斜率存在,设l方程为:y=k(x-4)(1分) 圆C1的圆心到直线l的距离为d,∵l被⊙C1截得的弦长为2 ∴d==1(12分) d=从而k(24k+7)=0即k=0或k=- ∴直线l的方程为:y=0或7x+24y-28=0(5分) (2)设点P(a,b)满足条件, 由题意分析可得直线l1、l2的斜率均存在且不为0, 不妨设直线l1的方程为y-b=k(x-a),k≠0 则直线l2方程为:y-b=-(x-a)(6分) ∵⊙C1和⊙C2的半径相等,及直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等, ∴⊙C1的圆心到直线l1的距离和圆C2的圆心到直线l2的距离相等 即=(8分) 整理得|1+3k+ak-b|=|5k+4-a-bk| ∴1+3k+ak-b=±(5k+4-a-bk)即(a+b-2)k=b-a+3或(a-b+8)k=a+b-5 因k的取值有无穷多个,所以或(10分) 解得或 这样的点只可能是点P1(,-)或点P2(-,) 经检验点P1和P2满足题目条件(12分)
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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