Question

已知△ABC中，（tanA+1）（tanB+1）=2，AB=2，求：
（1）角C的度数；
（2）求三角形ABC面积的最大值．

Answer

（1）把已知的等式（tanA+1）（tanB+1）=2变形，利用两角和的正切函数公式即可求出tan（A+B）的值，利用三角形的内角和定理及诱导公式即可求出tanC的值，根据C的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出C的度数；
（2）由AB即c的值和cosC的值，利用余弦定理即可表示出关于a与b的关系式，利用基本不等式求出ab的最大值，然后利用三角形的面积公式，由求出的ab的最大值和sinC的值即可求出三角形ABC面积的最大值．
【解析】
记角A、角B、角C的对边分别为a、b、c
（1）tanA+tanB+tanAtanB+1=2，即tanA+tanB=1-tanAtanB，
∵1-tanAtanB≠0，
∴tan（A+B）==1，
即tanC=tan[π-（A+B）]=-tan（A+B）=-1，
∵C∈（0，π），∴C=；
（2）由余弦定理a2+b2-2abcosC=c2得：
a2+b2+2×ab=4，即a2+b2+ab=4，
而4-ab=a2+b2≥2ab，即ab≤4-2，
所以S△ABC=absinC=ab≤（4-2）=-1．