Question

设等比数列{a_n}的前n项和为S_n，首项a₁=1，公比．
（1）证明：s_n=（1+λ）-λa_n；
（2）若数列{b_n}满足，b_n=f（b_n-1）（n∈N^*，n≥2），求数列{b_n}的通项公式；
（3）若λ=1，记，数列{c_n}的前n项和为T_n，求证；当n≥2时，2≤T_n＜4．

Answer

（1）利用等比数列的前n项和公式即可证明；
（2）利用已知bn=f（bn-1）=，（n∈N*，n≥2），可得，即，再利用等差数列即可得出；
（3）利用（1）（2）可得cn，再利用“错位相减法”即可得出Tn，再利用单调性即可证明．
（ 1）证明：由等比数列的前n项和公式可得：═=1+λ-λan
  （2）【解析】
∵bn=f（bn-1）=，（n∈N*，n≥2），
∴，即，
∴数列{}是以为首项，1为公差的等差数列，
∴，
∴．
  （3）证明：由（1）（2）可知：λ=1时，．
∴Tn=1+++…+，
=+…+，
∴=1++…+-=-，
Tn=，
∵＞0，∴=＜1，∴f（n）单调递减．
∴n≥2时，f（n）≤f（2）=2，
∴Tn≥4-2=2．
∵f（n）＞0，∴Tn＜4．
∴当n≥2时，2≤Tn＜4．