Question

已知椭圆的中心在原点，左焦点F₁（-2，0），过左焦点且垂直于长轴的弦长为．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）过（-3，0）点的直线l与椭圆相交于A，B两点，若以线段A，B为直径的圆过椭圆的左焦点，求直线l的方程．

Answer

（Ⅰ）设出椭圆方程，表示出通径，由其长等于，联立c=2及a2=b2+c2求解a，b的值，所以椭圆的标准方程可求；
（Ⅱ）设出直线l的方程，和椭圆方程联立后化为关于y的一元二次方程，由根与系数的关系得到两交点A，B的纵坐标的和与积，代入向量数量积等于0求解答案．
【解析】
（Ⅰ）设椭圆方程为．
令x=-c，代入椭圆方程得，．
所以，又a2=b2+c2，解得．
∴椭圆的标准方程为；
（Ⅱ）设直线l的方程为x=my-3，A（x1，y1），B（x2，y2）
联立直线与椭圆的方程，得（m2+3）y2-6my+3=0，
，
由题意可知AF1⊥BF1，即，
∴=
整理得：（m2+1）y1y2-m（y1+y2）+1=0．
∴，解得m=．
代入△=36m2-12（m2+3）=24×3-36=36＞0．
所以直线l的方程为或x-+3=0．