Question

在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且满足c=2bcosA．
（1）求证：A=B；
（2）若△ABC的面积，，求c的值．

Answer

（1）利用正弦定理化简已知的等式，再利用内角和定理及诱导公式化简，根据两角和与差的正弦函数公式变形化简得证；
（2）由（1）得出的A=B，利用等角对等边得到a=b，由C为三角形的内角，以及cosC的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinC的值，利用三角形的面积公式，根据已知的面积列出关于a的方程，求出方程的解得到a与b的值，再利用余弦定理即可求出c的值．
【解析】
（1）由c=2bcosA，根据正弦定理，得：sinC=2sinBcosA，
又在△ABC中，A+B+C=π，
∴sinC=sin（A+B），
∴sin（A+B）=2sinBcosA，即sinAcosB+cosAsinB=2sinBcosA，
∴sinAcosB-cosAsinB=0，即sin（A-B）=0，
又A、B为三角形内角，
∴A=B；
（2）由（1）得A=B，∴a=b，
∵角C为三角形内角，且cosC=，
∴sinC==，
又S=，即S=absinC=a2×=，
解得：a=5，
由余弦定理得：c2=a2+b2-2abcosC=10，
解得：c=．