Question

已知二次函数y=f（x）的图象经过坐标原点，其导函数为f'（x）=6x-2，数列{a_n}的前n项和为S_n，点均在函数y=f（x）的图象上．
（1）求y=f（x）的解析式；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）设，T_n是数列{b_n}的前n项和，求使得对所有n∈N^*都成立的最小正整数m．

Answer

（1）易得c=0，设这二次函数f（x）=ax2+bx（a≠0），根据导函数求得f（x）的表达式，
（2）根据点（n，Sn）（n∈N*）均在函数，y=f（x）的图象上，求出an的递推关系式，
（Ⅱ）把（1）题中an的递推关系式代入bn，根据裂项相消法求得Tn，最后解得使得得对所有n∈N*都成立的最小正整数m．
【解析】
（1）易得c=0，设二次函数f（x）=ax2+bx+c，则f'（x）=2ax+b．…（1分）
由于f'（x）=6x-2，得：a=3，b=-2…（2分）
所以f（x）=3x2-2x．…（3分）
（2）由点均在函数y=f（x）的图象上，又f（x）=3x2-2x，
所以．…（4分）
当n≥2时，；…（6分）
当n=1时，．…（7分）
所以，an=6n-5（n∈N*）…（8分）
（3）由（2）得知=…（9分）
=，…（11分）
故Tn=b1+b2+…+bn=
=．…（12分）
要使f（x）（[1，e]）成立，需要满足≤a，…（13分）
即m≥10，所以满足要求的最小正整数m为10．…（14分）