Question

已知圆C：x²+y²+2x-6y+1=0，直线l：x+my=3．
（1）若l与C相切，求m的值；
（2）是否存在m值，使得l与C相交于A、B两点，且（其中O为坐标原点），若存在，求出m，若不存在，请说明理由．

Answer

（1）将圆的方程转化为标准方程，求得圆心和半径，由圆心到直线的距离等于半径来求解．
（Ⅱ）先假设存在m，由圆的方程和直线方程联立由韦达定理分别求得x1x2，y1y2由，求解，然后，再由判别式骓即可．
【解析】
（1）由圆方程配方得（x+1）2+（y-3）2=9，
圆心为C（-1，3），半径为r=3，
若l与C相切，则得=3，
∴（3m-4）2=9（1+m2），
∴m=．

（2）假设存在m满足题意．
由x2+y2+2x-6y+1=0，x=3-my
消去x得（m2+1）y2-（8m+6）y+16=0，
由△=（8m+6）2-4（m2+1）•16＞0，得m＞，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则y1+y2=，y1y2=．
=x1x2+y1y2
=（3-my1）（3-my2）+y1y2
=9-3m（y1+y2）+（m2+1）y1y2
=9-3m•+（m2+1）•
=25-=0
24m2+18m=25m2+25，m2-18m+25=0，
∴m=9±2，适合m＞，
∴存在m=9±2符合要求．