Question

设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₂=4，S₅=30．数列{b_n}满足b₁=0，b_n=2b_n-1+1，（n∈N，n≥2），
①求数列{a_n}的通项公式；
②设C_n=b_n+1，求证：{C_n}是等比数列，且{b_n}的通项公式；
③设数列{d_n}满足，求{d_n}的前n项和为T_n．

Answer

①等差数列{an}中，依题意，解关于首项a1与公差d的方程组，即可求得数列{an}的通项公式；
②可求得=2（n≥2，n∈N），c1=b1+1=1，从而可确定{cn}是以1为首项，2为公比的等比数列，继而可得{bn}的通项公式；
③通过裂项法可求得dn=（-）+2n-1-1，再利用分组求和、公式法求和即可求得{dn}的前n项和为Tn．
【解析】
①由a2=a1+d=4，S5=5a1+d=30得：a1=2，d=2，
∴an=2+2（n-1）=2n…（4分）
②∵bn=2bn-1+1，cn=bn+1，
∴===2（n≥2，n∈N）
∴{cn}是以2为公比的等比数列．
又∵c1=b1+1=1，
∴cn=bn+1=1×2n-1=2n-1，
∴bn=2n-1-1…（9分）
③∵dn=+bn=+2n-1-1=（-）+2n-1-1，
∴Tn=[（1-）+（-）+…+（-）]+（1+2+22+…+2n-1）-n
=（1-）+-n
=2n-n-（14分）