(Ⅰ)求解析式,只需把a,b,d三个字母求出即可.已知点P(0,2)满足f(x),得到d,又点M(-1,f(-1))处的切线方程为6x-y+7=0,可以得到f(-1)的值,并且得到f(x)在x=-1处的导数为6.
(Ⅱ)利用导数研究函数的单调性即可求出函数的单调区间.
【解析】
(Ⅰ)∵f(x)的图象经过P(0,2),∴d=2,
∴f(x)=x3+bx2+ax+2,f'(x)=3x2+2bx+a.
∵点M(-1,f(-1))处的切线方程为6x-y+7=0
∴f'(x)|x=-1=3x2+2bx+a|x=-1=3-2b+a=6①,
还可以得到,f(-1)=y=1,即点M(-1,1)满足f(x)方程,得到-1+b-a+2=1②
由①、②联立得b=a=-3
故所求的解析式是f(x)=x3-3x2-3x+2.
(Ⅱ)f'(x)=3x2-6x-3.,令3x2-6x-3=0,即x2-2x-1=0.
解得.当;
当.
故f(x)的单调增区间为(-∞,1-),(1+,+∞);单调减区间为(1-,1+)