Question

设某物体一天中的温度T是时间的函数：T（t）=at³+bt²+ct+d（a≠0），其中温度的单位是℃，时间单位是小时，t=0表示12：00，取正值表示12：00以后．若测得该物体在8：00的温度是8℃，12：00的温度为60℃，13：00的温度为58℃，且已知该物体的温度在8：00和16：00有相同的变化率．
（1）写出该物体的温度T关于时间的函数关系式；
（2）该物体在10：00到14：00这段时间中（包括10：00和14：00），何时温度最高，并求出最高温度；
（3）如果规定一个函数f（x）在区间[x₁，x₂]（x₁＜x₂）上的平均值为，求该物体在8：00到16：00这段时间内的平均温度．

Answer

（1）求导函数，利用该物体的温度在早上8：00与下午16：00有相同的变化率，建立方程，求得b的值，再利用该物体在早上8：00的温度为8℃，中午12：00的温度为60℃，下午13：00的温度为58℃，建立方程组，即可确定函数的解析式；
（2）确定函数在[-2，2]上的单调性，从而可得函数的极值与最值，即可求得结论．
（3）求出被积函数的原函数，然后分别代入积分上限和下限求解．
【解析】
（1）求导函数可得T′=3at2+2bt+c
∵该物体的温度在早上8：00与下午16：00有相同的变化率
∴T′（-4）=T′（4），∴12a-8b+c=12a+8b+c，∴b=0
∵该物体在早上8：00的温度为8℃，中午12：00的温度为60℃，下午13：00的温度为58℃
∵该物体在早上8：00的温度为8℃，中午12：00的温度为60℃，下午13：00的温度为58℃
∴，
∴a=1，b=0，c=-3，d=60
∴T（t）=t3-3t2+60（-12≤t≤12）；
（2）T′=3t2-3=3（t+1）（t-1），
令T′＞0，可得t＜-1或t＞1；令T′＜0，可得-1＜t＜1
∴函数在（-2，-1）上单调递增，在（-1，1）上单调递减，在（1，2）上单调递增
∵T（-2）=58，T（-1）=62，T（1）=58，T（2）=62
∴t=-1或t=2时，T（t）取到最大值62，说明在上午11：00与下午14：00，该物体温度最高，最高温度是62℃；
（3）由题意可得该物体在8：00到16：00这段时间内的平均温度为：
==14．
所以该物体在8：00到16：00这段时间内的平均温度14℃．