Question

已知：x＞-1，证明：ln（x+1）≤x．

Answer

令f（x）=x-ln（x+1），根据 它的导数的符号可得函数f（x）的单调性，再根据函数的单调性求得函数f（x）取得最小值为0，即f（x）≥0，从而证得不等式．
【解析】
令f（x）=x-ln（x+1），则它的导数为 f′（x）=1-．
当0＞x＞-1时，f′（x）＜0，故函数f（x）在（-1，0）上是减函数．
当x≥0时，f′（x）≥0，当且仅当x=0时，f′（x）=0，故函数f（x）在[0，+∞）上是增函数．
故当x=0时，函数f（x）取得最小值为0，
故有f（x）=x-ln（x+1）≥0，∴ln（x+1）≤x．