Question

已知函数f（x）=ax-1-lnx（a∈R）．
（Ⅰ）讨论函数f（x）在定义域内的极值点的个数；
（Ⅱ）已知函数f（x）在x=1处取得极值，且对∀x∈（0，+∞），f（x）≥bx-2恒成立，求实数b的取值范围．

Answer

（Ⅰ）由f（x）=ax-1-lnx可求得f′（x）=，对a分a≤0与a＞0讨论f′（x）的符号，从而确定f（x）在其定义域（0，+∞）单调性与极值，可得答案；
（Ⅱ）函数f（x）在x=1处取得极值，可求得a=1，于是有f（x）≥bx-2⇔1+-≥b，构造函数g（x）=1+-，g（x）min即为所求的b的值．
【解析】
（Ⅰ）∵f（x）=ax-1-lnx，
∴f′（x）=a-=，（1分）
当a≤0时，f'（x）≤0在（0，+∞）上恒成立，函数f（x）在（0，+∞）单调递减，
∴f（x）在（0，+∞）上没有极值点；（3分）
当a＞0时，f'（x）≤0得 0＜x≤，f'（x）≥0得，
∴f（x）在（0，]上递减，在[，+∞）上递增，即f（x）在处有极小值．（5分）
∴当a≤0时f（x）在（0，+∞）上没有极值点，当a＞0时，f（x）在（0，+∞）上有一个极值点．
（Ⅱ）∵函数f（x）在x=1处取得极值，
∴a=1，
∴f（x）≥bx-2⇔1+-≥b，（8分）
令g（x）=1+-，则g′（x）=--=-（2-lnx），
由g′（x）≥0得，x≥e2，由g′（x）≤0得，0＜x≤e2，
∴g（x）在（0，e2]上递减，在[e2，+∞）上递增，（10分）
∴，即b≤1-．（12分）