Question

已知△ABC的顶点A（0，-4），B（0，4），且4（sinB-sinA）=3sinC，则顶点C的轨迹方程是    ．

Answer

利用正弦定理化4（sinB-sinA）=3sinC为边的关系，然后直接利用双曲线的定义得到轨迹方程．
【解析】
因为A（0，-4），B（0，4），所以AB=8．
∵4（sinB-sinA）=3sinC，∴结合正弦定理得：4（AC-BC）=3AB=24，
∴AC-BC=6．
∴由双曲线定义，得：
点C的轨迹是以A、B为焦点的双曲线的上支（除双曲线与AB的交点外）．
∵AB=8，∴2c=8，∴c=4，
∵AC-BC=6，∴2a=6，∴a=3，
∴b2=c2-a2=16-9=7．
∴点C的轨迹方程是：．
令中的x=0，得：．
∴双曲线的上支与AB的交点坐标是（0，）．
∴满足条件的点C的轨迹方程是：（x）．
故答案为（x）．