Question

如图是一个数表，第一行依次写着从小到大的正整数，然后把每行的相邻两个数的和写在这两数的正中间的下方得到下一行，数表从左到右、从上到下无限．则2000在表中出现    次．

Answer

由数表推得，每一行都是等差数列，第n行的公差为2n-1，记第n行的第m个数为f（n，m），则f（n，1）=f（n-1，1）+f（n-1，2）依此类推算得f（n，1）=（n+1）•2n-2从而得到f（n，m）=f（n，1）+（m-1）•2n-1最后令2n-2（2m+n-1）=2000=24×53，验证当n=1，3，5，6时符合，最后得出答案．
【解析】
由数表推得，每一行都是等差数列，第n行的公差为2n-1，
记第n行的第m个数为f（n，m），则f（n，1）=f（n-1，1）+f（n-1，2）
=
算得f（n，1）=（n+1）•2n-2
⇒f（n，m）=f（n，1）+（m-1）•2n-1
=2n-2（2m+n-1）（n∈N+）
令2n-2（2m+n-1）=2000=24×53，
验证当n=1，3，5，6时符合．
则2000在表中出现 4次．
故答案为4．