Question

已知函数f（x）=x³-bx²+2x+a，x=2是f（x）的一个极值点．
（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）若直线y=2x和此函数的图象相切，求a的值．

Answer

（I）利用f′（2）=0即可得出b，再解出f′（x）＞0即可得出其单调递增区间；
（II）设切点为P（x，y），利用导数的几何意义可得，解得x即可得出切点，再代入y=f（x）即可得出a．
【解析】
（I）f′（x）=x2-2bx+2，
∵x=2是f（x）的一个极值点，∴f′（2）=22--4b+2=0，解得，
∴f′（x）=x2-3x+2，令f′（x）＞0，解得x＜1或x＞2．
∴函数f（x）的单调递增区间是（-∞，1），（2，+∞）；
（II）设切点为P（x，y），则，解得x=0或3．
∴切点为（0，0）或（3，6）．
代入f（x）得0=a或6=，
解得a=0或．