Question

如图，在四边形ABCD中，．
（Ⅰ）求四边形ABCD的面积；
（Ⅱ）求sinD的值．

Answer

（Ⅰ）延长BC到E，过D作DE⊥CE，DF⊥AC，根据题意求出AC=CD=1，AB=2，利用平面向量的数量积运算法则化简•=1，求出cos∠BAC的值，确定出∠BAC的度数，利用余弦定理求出BC的长，再利用勾股定理的逆定理得到∠ACB为直角，由DF=CE，在直角三角形DCE中，利用锐角三角函数定义求出CE的长，即为DF的长，求四边形ABCD的面积即可；
（Ⅱ）在三角形ACD中，利用余弦定理求出AD的长，再利用正弦定理求出sinD的值即可．
【解析】
（Ⅰ）延长BC到E，过D作DE⊥CE，DF⊥AC，
由条件得：AC=CD=1，AB=2，
∵•=1×2×cos∠BAC=1，∴cos∠BAC=，
∵∠BAC∈（0，π），
∴∠BAC=，
∴BC2=AB2+AC2-2AB•AC•cos∠BAC=3，
∴BC=，
∴BC2+AC2=AB2，
∴∠ACB=，
∵DF=CE=CD•cos∠DCE=1×=，
∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=+；
（Ⅱ）在△ACD中，AD2=AC2+DC2-2AC•DC•cos∠ACD=1+1-=，
∴AD=，
∵=，
则sinD=sin∠ACD=．