Question

设函数
（Ⅰ）当b＞0时，判断函数f_n（x）在（0，+∞）上的单调性；
（Ⅱ）设n≥2，b=1，c=-1，证明：f_n（x）在区间内存在唯一的零点；
（Ⅲ）设n=2，若对任意x₁，x₂∈[-1，1]，有|f₂（x₁）-f₂（x₂）|≤4，求b的取值范围．

Answer

（Ⅰ）求导数，验证fn′（x）＞0，即可得到结论；
（Ⅱ）将n＞2，b=1，c=-1代入可得fn（x）=xn+x-1，结合指数函数的性质可得fn′（x）=nxn-1+1＞0在（，1）上恒成立，进而判断出函数在区间上单调，分析区间两端点的函数值符号关系，进而根据零点存在定理，可得答案；
（Ⅲ）将n=2，根据|f2（x1）-f2（x2）|≤4，分类讨论不同情况下b的取值范围，综合讨论结果，可得b的取值范围．
（Ⅰ）【解析】
∵，
∴
∵b＞0，x＞0，n∈N+
∴fn′（x）＞0
∴函数fn（x）在（0，+∞）上的单调递增；
（Ⅱ）证明：由n＞2，b=1，c=-1，得fn（x）=xn+x-1
∴fn′（x）=nxn-1+1＞0在上恒成立，
∴fn（x）=xn+x-1在单调递增，
∵fn（1）=1＞0，fn（）=＜0，
∴fn（x）在区间内存在唯一的零点；
（Ⅲ）【解析】
当n=2时，f2（x）=x2+bx+c
①当b≥2或b≤-2时，即-≤-1或-≥1，此时只需满足|f2（1）-f2（-1）|=|2b|≤4
∴-2≤b≤2，即b=±2；
②当0≤b＜2时，即-1＜-≤0，此时只需满足f2（1）-f2（-）≤4，即b2+4b-12≤0
解得：-6≤b≤2，即b∈[0，2）
③当-2＜b＜0时，即0＜-＜1，此时只需满足f2（-1）-f2（-）≤4，即b2-4b-12≤0
解得：-2≤b≤6，即b∈（-2，0）
综上所述：b∈[-2，2]．