Question

已知椭圆C：（a＞b＞0）的焦距是2，离心率是0.5
（1）求椭圆的方程．
（2）经过A（1，2），倾斜角为45的直线l与椭圆C相交于M、N两点，求MN的长．

Answer

（1）由题设求出c，结合离心率求出a，利用b2=a2-c2求出b2，则椭圆方程可求；
（2）写出直线l的方程，和椭圆方程联立后化为关于x的一元二次方程，由根与系数关系得到直线和椭圆两个交点的横坐标的和与积，由弦长公式得答案．
【解析】
（1）由2c=2，得c=1，又，所以a=2．
则b2=a2-c2=4-1=3．
所以椭圆的方程为；
（2）过A（1，2），倾斜角为45的直线l的斜率为1，方程为y-2=1×（x-1），
即y=x+1．
联立，得7x2+8x-8=0．
设M（x1，x2），N（x2，y2）．
，
所以|MN|==．