Question

设f_k（n）为关于n的k（k∈N）次多项式．数列{a_n}的首项a₁=1，前n项和为S_n．对于任意的正整数n，a_n+S_n=f_k（n）都成立．
（I）若k=0，求证：数列{a_n}是等比数列；
（Ⅱ）试确定所有的自然数k，使得数列{a_n}能成等差数列．

Answer

（Ⅰ）若k=0，不妨设f（n）=c（c为常数）．即an+Sn=c，结合数列中an与 Sn关系求出数列{an}的通项公式后再证明．
（Ⅱ）由特殊到一般，实质上是由已知an+Sn=fk（n） 考查数列通项公式求解，以及等差数列的判定．
（Ⅰ）证明：若k=0，则fk（n）即f（n）为常数，
不妨设f（n）=c（c为常数）．
因为an+Sn=fk（n）恒成立，所以a1+S1=c，c=2a1=2．
而且当n≥2时，
an+Sn=2，①
an-1+Sn-1=2，②
①-②得 2an-an-1=0（n∈N，n≥2）．
若an=0，则an-1=0，…，a1=0，与已知矛盾，所以an≠0（n∈N*）．
故数列{an}是首项为1，公比为的等比数列．
（Ⅱ）【解析】
（1）若k=0，由（Ⅰ）知，不符题意，舍去．
（2）若k=1，设f1（n）=bn+c（b，c为常数），
当n≥2时，an+Sn=bn+c，③
an-1+Sn-1=b（n-1）+c，④
③-④得 2an-an-1=b（n∈N，n≥2）．
要使数列{an}是公差为d（d为常数）的等差数列，
必须有an=b-d（常数），
而a1=1，故{an}只能是常数数列，通项公式为an=1（n∈N*），
故当k=1时，数列{an}能成等差数列，其通项公式为an=1（n∈N*），
此时f1（n）=n+1．
（3）若k=2，设f2（n）=pn2+qn+t（a≠0，a，b，c是常数），
当n≥2时，
an+Sn=pn2+qn+t，⑤
an-1+Sn-1=p（n-1）2+q（n-1）+t，⑥
⑤-⑥得 2an-an-1=2pn+q-p（n∈N，n≥2），
要使数列{an}是公差为d（d为常数）的等差数列，
必须有an=2pn+q-p-d，且d=2p，
考虑到a1=1，所以an=1+（n-1）•2p=2pn-2p+1（n∈N*）．
故当k=2时，数列{an}能成等差数列，
其通项公式为an=2pn-2p+1（n∈N*），
此时f2（n）=an2+（a+1）n+1-2a（a为非零常数）．
（4）当k≥3时，若数列{an}能成等差数列，根据等差数列通项公式可知Sn是关于n的二次型函数，
则an+Sn的表达式中n的最高次数为2，
故数列{an}不能成等差数列．
综上得，当且仅当k=1或2时，数列{an}能成等差数列．