Question

已知函数，．
（1）若a=2，求f（x）=f₁（x）+f₂（x）在x∈[2，3]上的最小值；
（2）若x∈[a，+∞）时，f₂（x）≥f₁（x），求a的取值范围；
（3）求函数在x∈[1，6]上的最小值．

Answer

（1）因为a=2，且x∈[2，3]，所以f（x）=e|x-3|+e|x-2|+1=e3-x+ex-1，利用基本不等式，可求在x∈[2，3]上的最小值；
（2）由题意知，当x∈[a，+∞） 时，e|x-2a+1|≤e|x-a|+1，即|x-2a+1|≤|x-a|+1 恒成立即2ax≥3a2-2a 对x∈[a，+∞） 恒成立，由此可求a的取值范围；
（3）记h1（x）=|x-（2a-1）|，h2（x）=|x-a|+1，则h1（x），h2（x）的图象分别是以（2a-1，0）和（a，1）为顶点开口向上的V型线，且射线的斜率均为±1，分类讨论，即可求得g（x）在x∈[1，6]上的最小值．
【解析】
（1）因为a=2，且x∈[2，3]，所以f（x）=e|x-3|+e|x-2|+1=e3-x+ex-1==2e，
当且仅当x=2时取等号，所以f（x）在x∈[2，3]上的最小值为2e …4分
（2）由题意知，当x∈[a，+∞） 时，e|x-2a+1|≤e|x-a|+1，即|x-2a+1|≤|x-a|+1 恒成立…6分
所以|x-2a+1|≤x-a+1，即2ax≥3a2-2a 对x∈[a，+∞） 恒成立，
则由，得所求a的取值范围是0≤a≤2…9分
（3）记h1（x）=|x-（2a-1）|，h2（x）=|x-a|+1，则h1（x），h2（x）的图象分别是以（2a-1，0）和（a，1）为顶点开口向上的V型线，且射线的斜率均为±1．
①当1≤2a-1≤6，即1≤a≤时，∴g（x）在x∈[1，6]上的最小值为f1（2a-1）=e=1…10分
②当a＜1时，可知2a-1＜a，所以
（ⅰ）当h1（a）≤h2（a），得|a-（2a-1）|≤1，即-2≤a≤0时，在x∈[1，6]上，h1（x）＜h2（x），即f1（x）＞f2（x），所以g（x）=f2（x）的最小值为f2（1）=e2-a；
（ii）当h1（a）＞h2（a），得|a-（2a-1）|＞1，即a＜-2或0＜a＜1时，在x∈[1，6]上，h1（x）＞h2（x），即f1（x）＜f2（x），所以g（x）=f1（x）的最小值为f1（1）=e3-2a；
③当a＞时，因为2a-1＞a，可知2a-1＞6，且h1（6）=2a-7＞a-5=h2（6），所以
（ⅰ）当时，g（x）的最小值为f2（a）=e
（ii）当a＞6时，因为h1（a）=a-1＞1=h2（a），∴在x∈[1，6]上，h1（x）＞h2（x），即f1（x）＜f2（x），所以g（x）在x∈[1，6]上的最小值为f2（6）=ea-5…15分
综上所述，函数g（x）在x∈[1，6]上的最小值为…16分