已知奇函数f（x）=的定义域为R，f（1）=．（1）求实数a，b的值；（2）...

已知奇函数f（x）= manfen5.com 满分网

的定义域为R，f（1）= manfen5.com 满分网

．
（1）求实数a，b的值；
（2）证明函数f（x）在区间（-1，1）上为增函数；
（3）若g（x）=3^-x-f（x），证明函数g（x）在（-1，1）上有零点．

（1）由于奇函数f（x）=的定义域为R，故有f（0）=0，再由f（1）=，可得实数a、b的值．（2）由（1）可得f（x）=，设-1＜x1＜x2＜1，计算f（x2）-f（x1）＜0．可得函数f（x）在区间（-1，1）上为增函数．（3）由于函数g（x）=3-x-f（x）=3-x-，求得g（-1）g（1）=-＜0，可得函数 g（x）在（-1，1）上有零点．【解析】（1）由于奇函数f（x）=的定义域为R，故有f（0）=0，再由f（1）=，可得实数a=1，b=0．（2）由（1）可得f（x）=，设-1＜x1＜x2＜1，则可得f（x2）-f（x1）=-=．由题设可得 x2-x1＞0，1-x1•x2＞0，∴＞0，f（x2）-f（x1）＞0，故函数f（x）在区间（-1，1）上为增函数．（3）由于函数g（x）=3-x-f（x）=3-x-，g（-1）g（1）=（3+）（-）=-＜0，可得函数 g（x）在（-1，1）上有零点．

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考点分析：

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