Question

已知函数f（x）满足f（x+1）=-f（x），且f（x）是偶函数，当x∈[0，1]时，f（x）=x²，若在区间[-1，3]内，函数g（x）=f（x）-kx-k有4个零点，则实数k的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．

Answer

根据f（x+1）=-f（x），可得f（x）是周期为2的周期函数． 再由f（x）是偶函数，当x∈[0，1]时，f（x）=x2，可得函数在[-1，3]上的解析式．根据题意可得
函数y=f（x）的图象与直线y=kx+k 有4个交点，数形结合可得实数k的取值范围．
【解析】
∵函数f（x）满足f（x+1）=-f（x），故有f（x+2）=f（x），故f（x）是周期为2的周期函数．再由f（x）是偶函数，当x∈[0，1]时，f（x）=x2，
可得当x∈[-1，0]时，f（x）=x2，故当x∈[-1，1]时，f（x）=x2，当x∈[1，3]时，f（x）=（x-2）2．
由于函数g（x）=f（x）-kx-k有4个零点，故函数y=f（x）的图象与直线y=kx+k 有4个交点，如图所示：
把点（3，1）代入y=kx+k，可得k=，数形结合可得实数k的取值范围是 （0，]，
故选C．