Question

已知函数f（x）=x（a+lnx）有极小值-e^-2．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）若k∈Z，且对任意x＞1恒成立，求k的最大值．

Answer

（Ⅰ）求函数的定义域，利用极小值-e-2，求实数a的值；
（Ⅱ）利用导数求函数的最值即可．
【解析】
（Ⅰ）因为函数的定义域为（0，+∞），
函数的导数为f'（x）=1+a+lnx，由f'（x）=1+a+lnx=0，
解得x=e-1-a，即当x=e-1-a，时，函数取得极小值-e-2．
即f（e-1-a）=e-1-a（a-1-a）=-e-1-a=-e-2，
所以解的a=1，即实数a的值为1．
（Ⅱ）当a=1时，f（x）=x（1+lnx），所以设，
则．
令h（x）=x-2-lnx，x＞1．
因为，所以函数h（x）在（1，+∞）上单调递增，
又h（3）=1-ln3＜0，h（4）=2-ln4=2-2ln2＞0，
所以h（x）在（1，+∞）上存在唯一的一个实数根x，满足x∈（3，4），且h（x）=0
，即x-2-ln⁡x=0，所以lnx=x-2．
当x∈（1，x）时，h（x）＜0，此时g'（x）＜0，
当x∈（x，+∞）时，h（x）＞0，此时g'（x）＞0．
所以在x∈（1，x）时，单调递减，在x∈（x，+∞）上单调递增，
所以.=∈（3，4）．
所以要使对任意x＞1恒成立，则k＜g（x）min⁡=x∈（3，4），
因为k∈Z，所以要k≤3，即k的最大值为3．