Question

如图，四边形ABCD中，△ABC为正三角形，AD=AB=2，BD=2，AC与BD交于O点．将△ABC沿边AC折起，使D点至P点，已知PO与平面ABCD所成的角为θ，且P点在平面ABCD内的射影落在△ABC内．
（Ⅰ）求证：AC⊥平面PBD；
（Ⅱ）若时，求二面角A-PB-D的余弦值．

Answer

（Ⅰ）利用线面垂直的判定定理，可证AC⊥平面PBD；
（Ⅱ）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用，可得二面角A-PB-D的余弦值．
【解析】
（1）证明：由题意，O为BD的中点，则AC⊥BD，
又AC⊥PO，BD∩PO=O，
所以AC⊥平面PBD；
（2）因为AC⊥面PBD，而AC⊆面ABCD，所以面ABCD⊥面PBD，
则P点在面ABCD上的射影点在交线BD上（即在射线OD上），
所以PO与平面ABCD所成的角．
以O为坐标原点，OA为x轴，OB为y轴建空间直角坐标系．
则，
因为AC⊥面PBD，所以面PBD的法向量，
设面PAB的法向量，又，
由，得①，又，
由，得②，
在①②中令，可得x=z=3，故
所以二面角A-PB-D的余弦值