Question

中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆的离心率为，且经过点Q（1，）．若分别过椭圆的左右焦点F₁，F₂的动直线l₁、l₂相交于P点，与椭圆分别交于A、B与C、D不同四点，直线OA、OB、OC、OD的斜率k₁、k₂、k₃、k₄满足k₁+k₂=k₃+k₄． 
（1）求椭圆的方程；
（2）是否存在定点M、N，使得|PM|+|PN|为定值．若存在，求出M、N点坐标；若不存在，说明理由．

Answer

（1）设椭圆方程为，则由题意解得即可；
（2）当直线l1或l2斜率不存在时，P点坐标为（-1，0）或（1，0）．当直线l1、l2斜率存在时，设斜率分别为m1，m2．可得l1的方程为y=m1（x+1），l2的方程为y=m2（x-1）．设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），与椭圆方程联立即可得出根与系数的关系，再利用斜率计算公式和已知即可得出m1与m2的关系，进而得出答案．
【解析】
（1）设椭圆方程为，
则由题意解得
∴椭圆方程为．
（2）当直线l1或l2斜率不存在时，P点坐标为（-1，0）或（1，0）．
当直线l1、l2斜率存在时，设斜率分别为m1，m2．
∴l1的方程为y=m1（x+1），l2的方程为y=m2（x-1）．
设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），
联立，得到，
∴，．
同理，．（*）
∵=，，，．
又满足k1+k2=k3+k4．
∴=2m2-，
把（*）代入上式化为：-．（m1≠m2）．
化为m1m2=-2．
设点P（x，y），则，（x≠±1）
化为．
由当直线l1或l2斜率不存在时，P点坐标为（-1，0）或（1，0）也满足，
∴点P在椭圆上，则存在点M、N其坐标分别为（0，-1）、（0，1），使得|PM|+|PN|=为定值．