Question

已知各项均为正数的数列{a_n}满足：．
（1）求a_n的通项公式；
（2）当n≥2时，求证：．

Answer

（1）利用已知可得：a1=2，a2=3，a3=4，猜测：an=n+1．用数学归纳法证明即可；
（2）由于an=n+1，即证：．对k=1，2，…，n-2，令，利用导数可得，因此fk（x）在（1，+∞）上单调递减．由n-k≥2，得fk（n-k）≤fk（2），即．即ln2lnn≤ln（2+k）ln（n-k），k=1，2，…，n-2．进而证明结论．
【解析】
（1）a1=2，a2=3，a3=4，猜测：an=n+1．
下用数学归纳法证明：
①当n=1时，a1=1+1=2，猜想成立；
②假设当n=k（k≥1）时猜想成立，即ak=k+1，
由条件，
∴，
两式相减得：，
则当n=k+1时，，
∴ak+1=k+2，即当n=k+1时，猜想也成立．
故对一切的n∈N*，an=n+1成立．
（2）∵an=n+1，即证：
对k=1，2，…，n-2，令，则，
显然1＜x＜x+k，0＜lnx＜ln（x+k），∴xlnx＜（x+k）ln（x+k），
∴，∴fk（x）在（1，+∞）上单调递减．
由n-k≥2，得fk（n-k）≤fk（2），即．
∴ln2lnn≤ln（2+k）ln（n-k），k=1，2，…，n-2．
∴
=+…+
=+…+
≤+…+
=．
即．