Question

如图，已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱长都相等，且侧棱垂直于底面，由B沿棱柱侧面经过棱C C₁到点A₁的最短路线长为2，设这条最短路线与CC₁的交点为D．
（1）求三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积；
（2）在平面A₁BD内是否存在过点D的直线与平面ABC平行？证明你的判断；
（3）证明：平面A₁BD⊥平面A₁ABB₁．

Answer

（1）由题意求出棱长，再求出三棱柱ABC-A1B1C1的底面面积，再求出高AA1，即可求出棱柱的体积．
（2）设A1B与AB1的交点为O，连接BB2，OD，在平面A1BD内存在过点D的直线OD与平面ABC内的直线BB2平行，即可证明所要证明结论．
（3）连接AD，B1D，平面A1BD内的直线OD垂直平面A1ABB1内的两条相交直线A1B，AB1，即可证明平面A1BD⊥平面A1ABB1．
【解析】
（1）如图，将侧面BB1C1C绕棱CC1旋转120°
使其与侧面AA1C1C在同一平面上，点B运动到点B2的位置，
连接A1B2，则A1B2就是由点B沿棱柱侧面经过棱CC1到点A1的最短路线．
设棱柱的棱长为a，则B2C=AC=AA1=a，
∵CD∥AA1∴D为CC1的中点，（1分）
在Rt△A1AB2中，由勾股定理得A1A2+AB22=A1B22，
即 a2+4a2=解得a=2，（3分）
∵
∴（4分）
（2）设A1B与AB1的交点为O，连接BB2，OD，则OD∥BB2（6分）
∵BB2⊂平面ABC，OD不在平面ABC
∴OD∥平面ABC，
即在平面A1BD内存在过点D的直线与平面ABC平行（8分）
（3）连接AD，B1D
∵Rt△A1C1D≌Rt△BCD≌Rt△ACD
∴A1D=BD=B1D=AD∴OD⊥A1B，OD⊥AB1（10分）
∵A1B∩AB1=O∴OD⊥平面A1ABB1
又∵OD⊂平面A1BD∴平面A1BD⊥平面A1ABB1．（12分）