Question

函数f（x）=log_a（a^x-1），（0＜a＜1），
（1）求f（x）的定义域；
（2）证明在定义域内f（x）是增函数；
（3）解方程f（2x）=log_a（a^x+1）

Answer

（1）利用对数函数的性质求定义域．（2）利用函数的单调性的定义证明函数的单调性．（3）利用对数函数的性质解对数方程．
【解析】
（1）要使函数有意义，则ax-1＞0，即ax＞1，因为0＜a＜1，所以x＜0．
即函数的定义域为（-∞，0）．
（2）任设x1＜x2＜0，
则，
因为0＜a＜1，x1＜x2＜0，
所以，
即，所以，
所以f（x2）＞f（x1），所以函数f（x）在定义域内f（x）是增函数．
（3）由f（2x）=loga（ax+1）得，
即ax+1=a2x-1，
所以a2x-ax-2=0，解得ax=2，x=loga2，或者ax=-1不成立舍去．
所以方程 的根为x=loga2．