Question

已知数列{a_n），其中a₂=6，=n
（1）求a₁、a₃、a₄；
（2）求数列{a_n}通项公式；
（3）设数列{b_n}为等差数列，其中b_n=（c为不为零的常数），若S_n=b₁+b₂+…+b_n，求++…+．

Answer

（1）在=n中，分别令n=2，3，4得出关于a1、a3、a4；的方程计算求解即可．
（2）猜想an=n（2n-1），再用数学归纳法证明
（3）由（2）利用2b2=b1+b3．求出c，继而得出bn，Sn，再利用裂项求和法得出结果．
【解析】
（1）a2=6，=1，=2，=3
得a1=1，a3=15，a4=28
（2）猜想an=n（2n-1），下面用数学归纳法证明
①当n=1时，由已知，显然成立．
②假设当n=k（k≥1）时成立，即ak=k（2k-1）
则当n=k+1时，有=k．所以（k-1）a k+1=（k+1）a k-k（k+1），
a k+1=（k+1）[2（k+1）-1]
即当n=k+1时也成立．所以an=n（2n-1）成立
（3）因为{bn}为等差数列，所以2b2=b1+b3．
∴，又a1=1，a2=6，a3=15，
∴，∴==2n．
故Sn=b1+b2+…+bn，=n（n+1）
++…+=[+…+]
=（1-）+（）+…+（）=1-=