Question

在数1和2之间插入n个实数，使得这n+2个数构成递增的等比数列，将这n+2个数的乘积记为A_n，令a_n=log₂A_n，n∈N．
（1）求数列{A_n}的前n项和S_n；
（2）求T_n=tana₂•tana₄+tana₄•tana₆+…+tana_2n•tana_2n+2．

Answer

（1）设构成递增的等比数列n+2个数分别为b1，b2，b3，…，bn+2，其中b1=1，bn+2=2．利用倒序相乘的方法，结合等比数列的性质算出，再由等比数列定义证出{An}是首项为，公比为的等比数列，由此不难算出数列{An}的前n项和Sn；
（2）由（1）的结论，算出，从而得到tana2n•tana2n+2=tan（n+1）tan（n+2），根据两角差的正切公式结合配角的方法，证出等式（n∈N*），由此作为通项代入Tn的表达式，化简合并后即可得到（n∈N*）．
【解析】
（1）根据题意，n+2个数构成递增的等比数列，
设为b1，b2，b3，…，bn+2，其中b1=1，bn+2=2，
可得An=b1•b2•…•bn+1•bn+2，…①；An=bn+2•bn+1•…•b2•b1，…②
由等比数列的性质，得b1•bn+2=b2•bn+1=b3•bn=…=bn+2•b1=2，
∴①×②，得=2n+2．
∵An＞0，∴．
因此，可得（常数），
∴数列{An}是首项为，公比为的等比数列．
∴数列{An}的前n项和Sn==．
（2）由（1）得，
∵，
∴．
从而tana2n•tana2n+2=tan（n+1）tan（n+2）=
∴

即Tn=tana2•tana4+tana4•tana6+…+tana2n•tana2n+2．