Question

已知函数f（x）=cos2x+asinx
（Ⅰ）当a=2时，求函数f（x）的值域；
（Ⅱ）若函数f（x）的最小值为-6，求实数a的值；
（Ⅲ）若a∈R，求函数f（x）的最大值．

Answer

（Ⅰ）将a=2代入函数解析式，利用同角三角函数间的基本关系变形，利用二次函数的性质求出函数f（x）的值域即可；
（Ⅱ）函数f（x）解析式配方后，利用二次函数的性质表示出最小值，根据最小值为-6，即可求出实数a的值；
（Ⅲ）将函数解析式配方后，分a＜-2；-2≤a≤2；以及a＞2三种情况，利用二次函数的性质求出最大值即可．
【解析】
（Ⅰ）当a=2时，f（x）=cos2x+2sinx=-sin2x+2sinx+1=-（sinx-1）2+2，
由-1≤sinx≤1，得到-2≤f（x）≤2，
则函数f（x）的值域为[-2，2]，
（Ⅱ）f（x）=-sin2x+asinx+1=-（sinx-）2++1，
∴f（x）min=，
∵f（x）的最小值为-6，
则a=±6；
（Ⅲ）f（x）=-sin2x+asinx+1=-（sinx-）2++1，
则f（x）max=．