Question

如图1-6，在△ABC中，∠ABC=60°，∠BAC=90°，AD是BC上的高，且BD=2，沿AD把△ABD折起，使∠BDC=90°．
（1）证明：平面ADB⊥平面BDC；
（2）求点D到平面ABC的距离．

Answer

（1）通过证明AD⊥平面BDC，利用平面与平面垂直的判断定理证明平面ADB⊥平面BDC；
（2）通过建立空间直角坐标系，求出平面ABC的法向量，直接利用向量的数量积，求点D到平面ABC的距离．
【解析】
（1）∵折起前AD是BC边上的高，
∴当△ABD折起后，AD⊥DC，AD⊥DB，又DB∩DC=D，
∴AD⊥平面BDC，∵AD⊂平面ABD，
∴平面ABD⊥平面BDC．…（6分）
（2）由（1）知，如图建立空间直角坐标系，由在△ABC中，∠ABC=60°，∠BAC=90°，
AD是BC上的高，且BD=2，
则D（0，0，0），B（2，0，0），A（0，0，2），C（0，4，0）…（7分）
设平面ABC的法向量为，
由，，
有，，
取，有，得，又…（10分）
点D到平面ABC的距离是…（13分）