Question

如图，某旅游区拟在公路l（南北向）旁开发一个抛物线形的人工湖，湖沿岸上每一点到公路l的距离与到A处的距离相等，并在湖中建造一个三角形的游乐区，三个顶点都在湖沿岸上，直线通道MN经过A．经测算，A在公路l正东方向200m处，C在A的正西方向100m处．现以点C为坐标原点，以线段CA所在直线为x轴，建立平面直角坐标系．
（1）求抛物线的方程；
（2）试判断是否存在直线通道MN，使得三角形的游乐区的面积为？并作说明．

Answer

（1）由题意可设抛物线的标准方程，且得到p，则抛物线的方程可求；
（2）假设存在直线通道MN，使得三角形的游乐区的面积为，设出MN所在直线方程，和抛物线方程联立后化为关于y的一元二次方程，由根与系数关系得到M，N两点的纵坐标的和与积，代入三角形面积公式后可求出直线方程，说明假设成立．
【解析】
（1）依题意，设所求的抛物线方程为y2=2px（p＞0），
∵抛物线的焦点A（100，0），
∴，所求的方程为y2=400x；
（2）解法1：设点M、N的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），直线MN的方程为x-100=ny，
联立消去x，得到y2-400ny-40000=0，∴y1+y2=400n，y1•y2=-40000，
∴==，
∴×==，
∴当n=±1时，S△MNC=．
答：存在两条MN的直线通道使面积是．
解法2：设点M、N的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）．
①当直线的斜率k不存在时，
直线MN的方程为x=100，S△MNC=20000；
②当直线的斜率k存在时，
设直线MN的方程为y=k（x-100），易知k≠0，
联立消去x，得到，
∴，
∴==，
∴==，
综合①与②可知，当 直线MN的斜率k=±1时，S△MNC取到m2．
答：存在两条MN的直线通道使面积是．