Question

集合M_k（k≥0）是满足下列条件的函数f（x）全体：如果对于任意的x₁，x₂∈（k，+∞），都有f（x₁）+f（x₂）＞f（x₁+x₂）．
（1）函数f（x）=x²是否为集合M的元素，说明理由；
（2）求证：当0＜a＜1时，函数f（x）=a^x是集合M₁的元素；
（3）对数函数f（x）=lgx∈M_k，求k的取值范围．

Answer

（1）由f（x1）=22=4，f（x2）=32=9，f（x1+x2）=52=25＞f（x1）+f（x2）可判断函数f（x）是否是集合M的元素
（2）要证明当0＜a＜1时，函数f（x）=ax是集合M1的元素，只要证对于任意的x1，x2∈（k，+∞），都有f（x1）+f（x2）＞f（x1+x2），即证f（x1）+f（x2）-f（x1+x2）＞0
（3）由对数函数f（x）=lgx∈Mk，可得任取x1，x2∈（k，+∞），f（x1）+f（x2）＞f（x1+x2）成立，代入整理可得对一切x1，x2∈（k，+∞）成立，结合∈（0，），可求k的范围
【解析】
（1）取x1=2，x2=3∈（0，+∞），…1分
f（x1）=22=4，f（x2）=32=9，f（x1+x2）=52=25＞f（x1）+f（x2），…1分
∴函数f（x）=x2不是集合M的元素．…1分
（2）证明：任取x1，x2∈（1，+∞），
f（x1）+f（x2）-f（x1+x2）=…1分
=，…1分
∵0＜a＜1，x1＞1，根据指数函数的性质，得，∴，
同理，，∴，∴．
∴f（x1）+f（x2）＞f（x1+x2），∴函数f（x）=ax是集合M1的元素．…2分
（3）∵对数函数f（x）=lgx∈Mk，∴任取x1，x2∈（k，+∞），f（x1）+f（x2）＞f（x1+x2）成立，
即lgx1+lgx2=lg（x1•x2）＞lg（x1+x2）成立，
∴x1•x2＞x1+x2对一切x1，x2∈（k，+∞）成立，…1分
∴对一切x1，x2∈（k，+∞）成立，
∵x1，x2∈（k，+∞），∴∈（0，），
∴≤1，∴k≥2．…2分．