Question

如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥BC，D为AC的中点，AA₁=AB=2．
（1）求证：AB₁∥平面BC₁D；
（2）若四棱锥B-DAA₁C₁的体积为2，求二面角C-BC₁-D的正切值．

Answer

（1）证明AB1∥平面BC1D，可在平面BC1D内找到一条与AB1平行的直线，而D为AC中点，可联想连结B1C，得到其中点O，由三角形的中位线定理可得要找的平行线，则问题得证；
（2）由给出的四棱锥的体积，求出BC的长度，过D作BC的垂线DF，再由F作FG垂直于BC1，连结DG找出要求的二面角的平面角，然后通过解直角三角形得到二面角C-BC1-D的正切值．
（1）证明如图，

连接B1C，设B1C与BC1相交于点O，连接OD，
∵四边形BCC1B1是平行四边形，
∴点O为B1C的中点．
∵D为AC的中点，∴OD为△AB1C的中位线．∴OD∥AB1．
∵OD⊂平面BC1D，AB1⊄平面BC1D，
∴AB1∥平面BC1D；
（2）【解析】
∵AA1⊥平面ABC，AA1⊂平面AA1C1C，
∴平面ABC⊥平面AA1C1C且平面ABC∩平面AA1C1C=AC．
作BE⊥AC，垂足为E，则BE⊥平面AA1C1C，
∵AA1=AB=2，设BC=x，则，
，
∴四棱锥B-DAA1C1的体积V=
==2．
解得，x=2．
所以D与E重合．
取BC中点F，连结DF，过F作FG⊥BC1与G，连结DG，
则∠DGF为二面角C-BC1-D的平面角．
由△BCC1∽△BGF可求得GF=．
所以．