Question

已知函数y=2sin（ωx+ϕ）（ω＞0，|ϕ|＜）图象如图，
（1）求函数的解析式；
（2）求函数的最大值，并写出取最大值时x的取值集合；
（3）求函数图象的对称中心．

Answer

（1）由三角函数的周期公式，算出ω=2．再由图象经过点（0，1）建立关于ϕ的关系式，结合|ϕ|＜得ϕ=，即可得到所求函数的解析式；
（2）由正弦函数的图象与性质，设2x+=+2kπ解得x=+kπ，（k∈Z）．由此即可得到函数的最大值及相应x的取值集合；
（3）根据正弦曲线对称中心的公式，解2x+=kπ得x=+kπ（k∈Z），由此即可得到函数图象的对称中心的坐标．
【解析】
（1）∵函数的周期T=-（-）=π
∴ω==2，得函数解析式为y=2sin（2x+ϕ）
∵当x=0时，y=1，∴2sinϕ=1，得sinϕ=
结合|ϕ|＜，可得ϕ=
∴函数的解析式为y=2sin（2x+）；
（2）令2x+=+2kπ（k∈Z），得x=+kπ，（k∈Z）
∴函数的最大值为2，相应的x的取值集合为{x|x=+kπ，（k∈Z）}；
（3）令2x+=kπ（k∈Z），得x=+kπ（k∈Z），
∴函数图象的对称中心坐标为（+kπ，0）（k∈Z）