Question

如图，已知DE⊥平面ACD，DE∥AB，△ACD是正三角形，AD=DE=2AB=2，且F是CD的中点．
（1）求证：AF∥平面 BCE；
（2）求证：平面 BCE⊥平面 CDE．
（3）求V_C-ABF：V_C-ABED的值．

Answer

（1）取CE中点P，连结FP、BP证明AF∥BP，利用直线与平面平行的判定定理证明AF∥平面 BCE；
（2）通过证明BP⊥平面CDE，利用平面与平面垂直的判定定理证明平面 BCE⊥平面 CDE．
（3）利用转化思想VC-ABF=VB-ACF求出几何体的体积，然后求出VC-ABED的值，即可得到比值．
（本小题满分14分）
【解析】
（1）证明：取CE中点P，连结FP、BP，
∵F为CD的中点，∴FP∥DE，且FP=．…（2分）
又AB∥DE，且AB=．∴AB∥FP，且AB=FP，
∴ABPF为平行四边形，∴AF∥BP．
又∵AF⊄平面BCE，BP⊂平面BCE，∴AF∥平面BCE．…（4分）
（2）证明：∵△ACD为正三角形，∴AF⊥CD．
∵DE⊥平面ACD，AF⊂平面ACD，
∴DE⊥AF
又AF⊥CD，CD∩DE=D，
∴AF⊥平面CDE．…（7分）
又BP∥AF，∴BP⊥平面CDE．                                   …（8分）
又∵BP⊂平面BCE，
∴平面BCE⊥平面CDE．…（9分）
（3）∵DE∥ABDE⊥平面ACD∴AB⊥平面 ACD∴AB是三棱锥B-ACF的高，
VC-ABF=VB-ACF=…（11分）
取AD中点Q，连结CQ
∵DE⊥平面 ACD，DE⊂平面ABED，∴平面ACD⊥平面ABED，
∵△ACD为正三角形，∴CQ⊥AD，
平面ACD∩平面ABED=AD            CQ⊂平面 ACD，
∴CQ⊥平面ABED，∴CQ是四棱锥C-ABED的高      …（12分）
VC-ABED=…（13分）
故VC-ABF：VC-ABED=…（14分）