Question

已知函数f（x）=的图象过点（-1，2），且在点（-1，f（-1））处的切线与直线x-5y+1=0垂直．
（1）求实数b，c的值；
（2）求f（x）在[-1，e]（e为自然对数的底数）上的最大值；
（3）对任意给定的正实数a，曲线y=f（x）上是否存在两点P，Q，使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上？

Answer

（1）求出x＜1时的导函数，令f（-1）=2，f′（x）=-5，解方程组，求出b，c的值．
（2）分段求函数的最大值，利用导数先求出-1≤x＜1时的最大值；再通过对a的讨论，判断出1≤x≤e时函数的
单调性，求出最大值，再从两段中的最大值选出最大值．
（3）设点P的横坐标为m（不妨设m＞0），则由题意可得点Q的横坐标为-m，且-m＜0．由题意可得OP⊥OQ，
即K0P•KOQ=-1．分0＜m＜1和m≥1两种情况，分别检验，从而得出结论．
【解析】
（1）由题意可得，当x＜1时，f′（x）=-3x2+2x+b，f′（-1）=-3-2+b=b-5．
由（ b-5 ）（）=-1，可得b=0，故 f（x）=-x3+x2+c．
把点（-1，2）代入求得 c=0．
综上可得b=0，c=0．
（2）由以上可得 ，当-1≤x＜1时，f′（x）=-x（3x-2）．
 解f′（x）＞0得0＜x＜．解f′（x）＜0得1≥x＞或x＜0．
∴f（x）在（-1，0）和（，1）上单调递减，在（0，）上单调递增，
从而f（x）在x=处取得极大值为f（）=．
又∵f（-1）=2，f（1）=0，∴f（x）在[-1，1）上的最大值为2．
当1≤x≤e时，f（x）=alnx，当a≤0时，f（x）≤0．
当a＞0时，f（x）在[1，e]单调递增；∴f（x）在[1，e]上的最大值为a．
∴a≥2时，f（x）在[-1，e]上的最大值为a；当a＜2时，f（x）在[-1，e]上的最大值为2．
（3）设点P的横坐标为m（不妨设m＞0），则由题意可得点Q的横坐标为-m，且-m＜0．
当0＜m＜1时，点P（m，-m3+m2），点 Q（-m，m3+m2），由K0P•KOQ=-1，可得
（-m2+m）（-m2-m）=-1，m无解．
当m≥1时，点P（m，alnm），点 Q（-m，m3+m2），由K0P•KOQ=-1，可得
•（-m2-m）=-1，即 alnm=．由于a为正实数，故存在大于1的实数m，满足方程 alnm=．
故曲线y=f（x）上存在两点P，Q，使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上．