Question

定义在D上的函数f（x），如果满足：对任意x∈D，存在常数M＞0，都有|f（x）|≤M成立，则称f（x）是D上的有界函数，其中M称为函数f（x）的上界．已知函数；．
（1）当a=1时，求函数f（x）在（-∞，0）上的值域，并判断函数f（x）在（-∞，0）上是否为有界函数，请说明理由；
（2）若函数f（x）在[0，+∞）上是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围；
（3）若m＞0，函数g（x）在[0，1]上的上界是T（m），求T（m）的取值范围．

Answer

（1）当a=1时，易知f（x）在（-∞，0）上递减，有f（x）＞f（0）=3，再有给出的定义判断；
（2）由函数f（x）在[0，+∞）上是以3为上界的有界函数，结合定义则有|f（x）|≤3在[0，+∞）上恒成立，再转化为在[0，+∞）上恒成立即可；
（3）据题意先研究函数g（x）在[0，1]上的单调性，确定函数g（x）的范围，即分别求的最大值和最小值，根据上界的定义，T（m）不小于最大值，从而解决．
【解析】
（1）当a=1时，
因为f（x）在（-∞，0）上递减，所以f（x）＞f（0）=3，
即f（x）在（-∞，1）的值域为（3，+∞）故不存在常数M＞0，使|f（x）|≤M成立
所以函数f（x）在（-∞，1）上不是有界函数．（4分）
（2）由题意知，|f（x）|≤3在[0，+∞）上恒成立．（5分）
-3≤f（x）≤3，
∴在[0，+∞）上恒成立（6）
∴（7分）
设2x=t，，，由x∈[0，+∞）得t≥1，
设1≤t1＜t2，
所以h（t）在[1，+∞）上递减，p（t）在[1，+∞）上递增，（9分）
h（t）在[1，+∞）上的最大值为h（1）=-5，p（t）在[1，+∞）上的最小值为p（1）=1
所以实数a的取值范围为[-5，1]．（10分）
（3），
∵m＞0，x∈[0，1]
∴g（x）在[0，1]上递减，（12分）
∴g（1）≤g（x）≤g（0）即（13分）
①当，即时，，（12分）
此时，（14分）
②当，即时，，
此时，
综上所述，当时，T（m）的取值范围是；
当时，T（m）的取值范围是[，+∞）（16分）