Question

已知△ABC是复平面内的三角形，A、B两点对应的复数分别为1+3i和-i，且AC=BC，
（1）求△ABC的顶点C的轨迹方程．
（2）若复数z满足|z-5i|=1，探究复数z对应的点Z的轨迹与顶点C的轨迹的位置关系．

Answer

（1）易知A（1，3），B（0，-1），从而线段AB的中点坐标为（，1），根据直线AB的斜率可得线段AB中垂线斜率，由此可得点C的轨迹方程；
（2）由|z-5i|=1可知复数z对应的点Z的轨迹为以（0，5）为圆心，1为半径的圆，利用圆心到直线的距离与半径的大小关系可得结论；
【解析】
（1）依题意，得A（1，3），B（0，-1），线段AB的中点坐标为（，1），直线AB的斜率为4，
所以线段AB中垂线的斜率为-，
所以C的轨迹方程为y-1=-（x-），x，即2x+8y-9=0（x）；
（2）因为复数z满足|z-5i|=1，
所以复数z的轨迹为以M（0，5）为圆心，以1为半径的圆，
又M到直线2x+8y-9=0的距离为d=＞1，
所以两轨迹是相离的关系．