Question

设函数f（x）=ax³-2bx²+cx+4d （a、b、c、d∈R）图象关于原点对称，且x=1时，f（x）取极小值-．
（1）求a、b、c、d的值；
（2）当x∈[-1，1]时，图象上是否存在两点，使得过此两点处的切线互相垂直？证明你的结论；
（3）若x₁，x₂∈[-1，1]时，求证：|f（x₁）-f（x₂）|≤．

Answer

（1）根据奇偶性判断b、d的值，再有在1处的极值求出a、c．
（2）用假设法证明．对于存在性问题，可先假设存在，即假设存在x1，x2，则f'（x1）•f'（x2）=-1，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在．
（3）函数在1和-1处取代极值，判断其为最值，根据两最值之差最大，证明问题．
【解析】
（1）∵函数f（x）图象关于原点对称，∴对任意实数x，都有f（-x）=-f（x）．
∴-ax3-2bx2-cx+4d=-ax3+2bx2-cx-4d，即bx2-2d=0恒成立．
∴b=0，d=0，即f（x）=ax3+cx．∴f′（x）=3ax2+c．
∵x=1时，f（x）取极小值-．∴f′（1）=0且f（1）=-，
即3a+c=0且a+c=-．解得a=，c=-1．
（2）当x∈[-1，1]时，图象上不存在两点，使得过此两点处的切线互相垂直
证明：假设存在x1，x2，则f'（x1）•f'（x2）=-1
所以（x12-1）（x22-1）=-1
因为x1，x2∈[-1，1]所以x12-1，x22-1∈[-1，0]
因此（x12-1）（x22-1）≠-1
所以不存在．
（3）证明：∵f′（x）=x2-1，由f′（x）=0，得x=±1．
当x∈（-∞，-1）或（1，+∞）时，f′（x）＞0；当x∈（-1，1）时，f′（x）＜0．
∴f（x）在[-1，1]上是减函数，且fmax（x）=f（-1）=，fmin（x）=f（1）=-．
∴在[-1，1]上，|f（x）|≤．
于是x1，x2∈[-1，1]时，|f（x1）-f（x2）|≤|f（x）max-f（x）min|=+=．
故x1，x2∈[-1，1]时，|f（x1）-f（x2）|≤．