Question

已知等差数列{a_n}的公差d≠0，数列{b_n}是等比数列，又a₁=b₁=1，a₂=b₃，a₄=b₄-2．
（1）求数列{a_n}及数列{b_n}的通项公式；
（2）设c_n=a_n•b_n，求数列{c_n}的前n项和S_n．

Answer

（1）设{bn}的公比为q，根据等差等比数列的通项公式建立关于q、d的方程组，解之得d=8且q=3，即可得到{an}及{bn}的通项公式；
（2）由（1）得cn=（8n-7）•3n-1，从而得到Sn=1•3+9•31+17•32+…+（8n-7）•3n-1，将等式两边都乘以3，利用错位相减法并结合等比数列的求和公式化简，可得Sn=（8n-11）•3n+．
【解析】
（1）设{bn}的公比为q，可得
∵a1=b1=1，a2=b3，a4=b4-2，
∴，解之得d=8且q=3
因此，an=1+8（n-1）=8n-7，bn=3n-1；
（2）由（1）得cn=an•bn=（8n-7）•3n-1
∴Sn=1•3+9•31+17•32+…+（8n-7）•3n-1，
两边都乘以3，可得3Sn=1•31+9•32+17•33+…+（8n-7）•3n，
相减得：-2Sn=1+8（3+32+…+3n-1）-（8n-7）•3n
=1+-（8n-7）•3n=1+4（3n-3）-（8n-7）•3n=-（8n-11）•3n-11
∴Sn=（8n-11）•3n+．