Question

已知抛物线C的方程为y²=2x，焦点为F，
（1）若C的准线与x轴的交点为D，过D的直线l与C交于A，B两点，且||=2||，求直线l的斜率；
（2）设点P是C上的动点，点R，N在y轴上，圆M：（x-1）²+y²=1内切于△PRN，求△PRN面积的最小值．

Answer

（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），由|FA|=2|FB|，得，将直线与抛物线方程联立可得x1+x2，x1x2 的值，解出x1，x2，从而问题得解．
（2）设P（x，y），R（0，b），N（0，c），且b＞c，则直线PR的方程可得，由题设知，圆心（1，0）到直线PR的距离为1，把x，y代入化简整理可得（x-2）b2+2yb-x=0，同理可得（x-2）c2+2yc-x=0，进而可知b，c为方程（x-2）x2+2yx-x=0的两根，根据求根公式，可求得b-c，进而可得△PRN的面积的表达式，根据均值不等式可知当当x=4时面积最小，进而求得点P的坐标．
【解析】
（1）由抛物线C的方程为y2=2x，得其焦点F（，0），
准线方程为x=-，所以D（，0），
由题意设直线l的斜率为k（k≠0），则直线l的方程为．
联立，得4k2x2+（4k2-8）x+k2=0．
设直线l与C交于A（x1，y1），B（x2，y2），
则①
由||=2||，得②
由①②解得．
代入△=（4k2-8）2-16k4中大于0成立，
所以；
（2）设P（x，y），R（0，b），N（0，c），且b＞c，
故直线PR的方程为（y-b）x-xy+xb=0．
由题设知，圆心（1，0）到直线PR的距离为1，
即．
注意到x＞2，化简上式，得（x-2）b2+2yb-x=0，
同理可得（x-2）c2+2yc-x=0．
由上可知，b，c为方程（x-2）x2+2yx-x=0的两根，
根据求根公式，可得b-c=．
故△PRN的面积为S==
=，
等号当且仅当x=4时成立．此时点P的坐标为（4，）或（4，-2）．
综上所述，当点P的坐标为（4，）或（4，-2）时，△PRN的面积取最小值8．