Question

定义在R上的函数f（x）满足（x-1）f′（x）≤0，且y=f（x+1）为偶函数，当|x₁-1|＜|x₂-1|时，有（ ）
A．f（2-x₁）≥f（2-x₂）
B．f（2-x₁）=f（2-x₂）
C．f（2-x₁）＜f（2-x₂）
D．f（2-x₁）≤f（2-x₂）

Answer

①若函数f（x）为常数，可得当|x1-1|＜|x2-1|时，恒有f（2-x1）=f（2-x2）．②若f（x）不是常数，可得y=f（x）关于x=1对称．当x1≥1，x2≥1，则由|x1-1|＜|x2-1|
可得f（x1）＞f（x2）．当x1＜1，x2＜1时，同理可得f（x1）＞f（x2）．综合①②得出结论．
【解析】
①若f（x）=c，则f'（x）=0，此时（x-1）f'（x）≤0和y=f（x+1）为偶函数都成立，
此时当|x1-1|＜|x2-1|时，恒有f（2-x1）=f（2-x2）．
②若f（x）不是常数，因为函数y=f（x+1）为偶函数，所以y=f（x+1）=f（-x+1），
即函数y=f（x）关于x=1对称，所以f（2-x1）=f（x1），f（2-x2）=f（x2）．
当x＞1时，f'（x）≤0，此时函数y=f（x）单调递减，当x＜1时，f'（x）≥0，此时函数y=f（x）单调递增．
若x1≥1，x2≥1，则由|x1-1|＜|x2-1|，得x1-1＜x2-1，即1≤x1＜x2，所以f（x1）＞f（x2）．
同理若x1＜1，x2＜1，由|x1-1|＜|x2-1|，得-（x1-1）＜-（x2-1），即x2＜x1＜1，所以f（x1）＞f（x2）．
若x1，x2中一个大于1，一个小于1，不妨设x1＜1，x2≥1，则-（x1-1）＜x2-1，
可得1＜2-x1＜x2，所以f（2-x1）＞f（x2），即f（x1）＞f（x2）．
综上有f（x1）＞f（x2），即f（2-x1）＞f（2-x2），
故选A．