Question

有下列命题：
①函数y=cos（x-）cos（x+）的图象中，相邻两个对称中心的距离为π；
②函数y=的图象关于点（-1，1）对称；
③关于x的方程ax²-2ax-1=0有且仅有一个实数根，则实数a=-1；
④已知命题p：对任意的x∈R，都有sinx≤1，则非p：存在x∈R，使得sinx＞1．
其中所有真命题的序号是（ ）
A．①②
B．③④
C．②③④
D．①②④

Answer

根据三角恒等变换公式化简，结合正弦函数的图象与性质可得①不正确；根据函数图象平移公式，结合反比例函数为奇函数可得函数的对称中心为（1，1），得②不正确；根据二次函数根的判别式，可得③正确；由全称命题及其否定，可得④正确．由此可得本题的答案．
【解析】
∵函数y=cos（x-）cos（x+）可化简为y=sin（2x+）
∴函数y=cos（x-）cos（x+）的周期为T==π，
可得相邻两个对称中心的距离为半个周期即，故①不正确；
∵函数y==1+，
∴函数y=的图象，由y=的图象先向右平移1个单位、再向上平移1单位而得．
因此函数y=的图象关于点（1，1）对称，得②不正确；
∵关于x的方程ax2-2ax-1=0有且仅有一个实数根，
∴方程为含有等根的一元二次方程，可得△=4a2+4a=0，得a=-1（舍去0），故③正确；
∵命题p：对任意的x∈R，都有sinx≤1，是一个全称命题
∴根据含有量词的命题否定，可得非p：存在x∈R，使得sinx＞1．故④正确．
综上所述，真命题的序号是③④
故选：B