Question

如图，已知△ABC是边长为1的正三角形，M、N分别是边AB、AC上的点，线段MN经过△ABC的中心G，设ÐMGA=a（）
（1）试将△AGM、△AGN的面积（分别记为S₁与S₂）表示为a的函数．
（2）求y=的最大值与最小值．

Answer

（1）根据G是边长为1的正三角形ABC的中心，可求得AG，进而利用正弦定理求得GM，然后利用三角形面积公式求得S1，同理可求得S2
（2）把（1）中求得S1与S2代入求得函数的解析式，进而根据α的范围和余切函数的单调性求得函数的最大和最小值．
【解析】
（1）因为G是边长为1的正三角形ABC的中心，
所以AG=，
∠MAG=，
由正弦定理
得
则S1=GM•GA•sina=
同理可求得S2=

（2）y==
=72（3+cot2a）
因为，
所以当a=或a=时，y取得最大值ymax=240
当a=时，y取得最小值ymin=216