Question

设三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=2bsinA．
（1）求B的大小；
（2）当B锐角时，求cosA+sinC的取值范围．

Answer

（1）已知等式利用正弦定理化简，根据sinA不为0求出sinB的值，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；
（2）所求式子利用诱导公式化简，根据B为锐角确定出B的度数，代入后利用两角和与差的正弦函数公式整理为一个角的正弦函数，根据A的范围求出这个角的范围，利用正弦函数的图象与性质即可求出所求式子的取值范围．
【解析】
（1）由正弦定理得：sinA=2sinB•sinA，
∵在△ABC中，sinA≠0，
∴sinB=，
∴B=或B=；
（2）∵B为锐角，即B=，
∴cosA+sinC=cosA+sin[π-（A+B）]=cosA+sin（+A）=cosA+sinA=sin（A+），
∵A∈（0，），
∴A+∈（，），
∴sin（A+）∈（-，1]，
∴cosA+sinC的取值范围为（-，]．